Artikel Aljabar Boolean

Artikel Aljabar Boolean Dibuat untuk tugas mata kuliah softskill organisasi dan arsitektur komputer UNIVERSITAS GUNADARMA Disusun oleh : Nama : I ketut Suastika Npm : 26409886 Jenjang / jurusan : S1 / TEKNIK MESIN Aljabar Boolean Dalam matematika dan ilmu komputer, Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang “mencakup intisari” operasi logika AND, OR dan NOR dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen. Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris, bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19. Boolean adalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu true atau false (benar atau salah). Pada beberapa bahasa pemograman nilai true bisa digantikan 1 dan nilai false digantikan 0. Daftar isi • 1 C • 2 Javascript • 3 PHP • 4 Lihat pula C Pengecekan tipe data boolean pada C bool my_variable = true; if (my_variable) { printf(“True!\1″); } else { printf(“False!”); } Javascript Pengecekan tipe data boolean pada javascript var myVar = new Boolean(true); if ( myVar ) { alert(“boolean”); } else { alert(“bukan boolean”); } PHP PHP memiliki tipe data boolean dengan dua nilai true dan false (huruf besar atau kecil tidak berpengaruh). Nilai yang ekuivalen dengan false adalah: • false • zero • “0″ • NULL • array kosong • string kosong 1 DEFINISI DAN AKSIOMA ALJABAR BOOLEAN DEFINISI DEFINISI 1.1 Aljabar Boolean adalah sistem aljabar yang berisi set S dengan dua operasi biner yakni penjumlahan (+) dan perkalian (.) yang didefinisikan pada set itu sehingga memenuhi ketentuan berikut: 1. Tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, ada unsur identitas penjumlahan dan perkalian, memenuhi sifat komutatif penjumlahan dan perkalian, memenuhi sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, memenuhi sifat distributif penjumlahan terhadap perkalian, untuk setiap unsur S mempunyai komplemen terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, dan memenuhi sifat asosiatif penjumlahan dan perkalian. 2. Setiap unsur S adalah ’idempotent’, yaitu jika a S, maka a.a = a dan a + a = a. Untuk setiap x, y, z S, berlaku (a) Sifat tertutup: x + y S dan x . y S (b) Sifat komutatif x + y = y + x x . y = y . x (c) Sifat distributif x. (y + z) = x . y + x . z (x + y) . z = (x . z) + (y . z) x + (y . z) = ( x + y) . ( x + z) PRINSIP DUALITAS DEFINISI 1.2 Misalkan A adalah kesamaan tentang aljabar Boolean yang melibatkan operasi +, . , dan komplemen. Jika pernyataan A* diperoleh dengan cara mengganti . dengan +, + dengan . , 0 dengan 1, 1 dengan 0, maka kesamaan A* juga benar. A* disebut sebagai dual dari A. Teorema 1.1 (Hukum Idempotent) Untuk setiap unsur x berlaku x + x = x dan x . x = x . Teorema 1.2 (Hukum Dominansi) Untuk setiap unsur x berlaku x + 1 = 1 dan x . 0 = 0. Teorema 1.3 (Hukum Penyerapan) Untuk setiap unsur x dan y berlaku x + x.y = x dan x . (x + y) = x . Teorema 1.4 (Hukum de Morgan) Untuk setiap unsur x dan y berlaku (x . y)’ = x’ + y’ dan (x + y)’ = x’ . y’ . Teorema 1.5 (Hukum 0/1) 0’ = 1 dan 1’ = 0 Teorema 1.6 (Hukum Involusi) (x’)’ = x Teorema 1.7 Jika suatu aljabar Boolean berisi paling sedikit dua unsur yang berbeda x dan y, maka x y. Bukti Teorema 1.1 x + x = (x + x) (1) identitas = (x + x) (x + x’ ) komplemen = x + (x . x’ ) distributif = x + 0 komplemen = x identitas Bukti Teorema 1.2 x + 1 = x + (x + x’ ) komplemen = (x + x) + x’ asosiatif = x + x’ teorema 1.1 (idempoten) = 1 komplemen Bukti Teorema 1.4 (x . y)’ = x’ + y’ Diketahui: (x.y)(x.y)’ = 0 komplemen Perlihatkan: (x.y)(x’ + y’) = 0 1 definisi aljabar boolean/6/8/2010/9:27:39 AM 4 Bukti: (x.y)(x’ + y’) = x.y.x’ + x.y.y’ distributif = x.x’.y + x.y.y’ komutatif = 0.y + x.0 komplemen = 0 + 0 dominansi = 0 identitas Jadi, (x . y)’ = x’ + y’ . ATURAN <= (Lebih Kecil Daripada) Definisi 1.3 x dan y adalah unsur-unsur dari aljabar Boolean. Dinyatakan bahwa x lebih kecil daripada y (x <= y) jika dan hanya jika x + y = y. Teorema 1.7 <= adalah suatu bagian dari urutan. Bukti Dari Teorema 1.1 : x + x = x , sehingga x <= x. Jika x <= y, maka x + y = y. Jika y <= x, maka y + x = x. Sehingga jika x <= y dan y <= x, maka x = y. Dapat disimpulkan: x <= y dan y <= z, maka x + y = y dan y + z = z. x + z = x + (y + z) = (x + y) + z = y + z = z. Sehingga x <= z . Teorema 1.8 Jika x, y dan z adalah unsur-unsur dari aljabar Boolean, maka <= mempunyai sifat-sifat berikut ini: (i) Jika x <= y dan x <= z, maka x <= yz. (ii) Jika x <= y, maka x <= y + z untuk elemen z. 1 definisi aljabar boolean/6/8/2010/9:27:39 AM 5 (iii) Jika x <= y, maka xz <= y untuk elemen z. (iv) x <= y jika dan hanya jika y’ <= x’. Bukti: (i) Jika x <= y, maka x + y = y. Jika x <= z, maka x + z = z. x + yz = (x + y) (x + z) = yz. distributif Jadi, x <= yz. (ii) Jika x <= y, maka x + y = y. x + (y + z) = (x + y) + z = y + z. asosiatif Jadi, x <= y + z. (iii) Jika x <= y, maka x + y = y. Menurut hukum penyerapan: x = x + xz = xz + x <= y ??? (iv) Jika x <= y, maka x + y = y dan y’ = (x + y)’. y’ + x’ = (x + y)’ + x’ = ((x + y)x)’. de Morgan ? REFERENSI : WWW.GOOGLE.COM

About these ads
Tulisan ini dipublikasikan di Uncategorized. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s